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ch9 实数集合与集合的基数

1. 实数集合

【整数】对自然数集合 \(N\)，令 \(Z_+ = N - \{0\}\)，\(Z_- = \{<0,n> | n \in Z_+\}\)，\(Z = Z_+\cup \{0\}\cup Z_-\)。

【相反数】一个整数的相反数分别是

  • \(-n = <0,n>\)，当 \(n\in Z_+\)
  • \(-0=0\)
  • \(-<0,n> = n\)，当 \(n\in Z_+\)
  • 在集合 \(Z\) 上定义小于等于关系 \(\le_Z\) 为，对任意的 \(x,y\in Z\)，\(x \le_Z y\) 当且仅当 \((x\in N\land y\in N\land x\le_N y) \lor (x\in Z \land y\in N)\lor (x\in Z_- \land y\in Z_-\land -y\le_N -x)\)。
  • 在集合 \(Z\) 上定义小于关系 \(<_Z\) 为，对任意的 \(x,y\in Z, x<_Z y\) 当且仅当 \((x\le_Z y)\land(x\ne y)\)。

【等价关系 \(\cong\)】对整数集合 \(Z\)，令 \(Q_1 = Z\times (Z-\{0\}) = \{<a,b> | a\in Z\land b\in Z\land b\ne 0\}\)，并称 \(Q_1\) 是 \(Z\) 上的因式的集合。对 \(<a,b>\in Q_1\)，可以用 \(a/b\) 代替 \(<a,b>\)。在 \(Q_1\) 上定义关系 \(\cong\) 为对任意的 \(a/b\in Q_1\)，\(c/d\in Q_1\)，\(a/b \cong c/d\) 当且仅当 \(a\cdot d = b\cdot c\)，其中 \(a\cdot d\) 是在 \(Z\) 上定义的乘法，\(=\) 是 \(Z\) 上的相等关系。

【有理数集合】\(Q = Q_1/\cong\)，即 \(Q\) 是集合 \(Q_1\) 对等价关系 \(\cong\) 的商集，则称 \(Q\) 的元素为有理数，一般用 \(a/b\) 表示 \(Q\) 中的元素 \([<a,b>_{\cong}]\)，并习惯上取 \(a,b\) 是互素的整数，且 \(b>0\)。

  • 在 \(Q\) 上定义小于等于关系 \(\le_Q\) 为，对任意的 \(a/b,c/d\in Q\)，\(a/b\le_Q c/d\) 当且仅当 \(a\cdot d\le_Z b\cdot c\)。

【实无穷】把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成可以自我完成的过程或无穷整体。

【基本函数】如果 \(f:N\to Q\) 满足有界，且单调非递减，则称 \(f\) 是一个基本函数，或有界非递减函数。函数值 \(f(0),f(1),f(2),..,f(n),..\) 称为一个基本序列，它有时写为 \(r_0,r_1,r_2,..,r_n,..\)

【定理】当 \(f:N\to Q\) 取常数值时，\(f\) 是基本函数。即对任意的 \(r\in Q\)，\(r,r,r..\) 是一个基本序列。

【定理】存在不是常值函数的基本函数。\(f(n) = 1 - 1/(n+1)\)。

对基本函数的集合 \(B\)，定义 \(B\) 上的关系为 \(\cong\)，对任意的 \(f,g\in B\)，\(f\cong g\) 当且仅当 \((\forall \epsilon)((\epsilon \in Q \land \epsilon > 0) \to (\exists n)(n\in N \land (\forall m)((m\in N\land n\le m)\to |f(m)-g(m)| < \epsilon)))\)。置换上说，\(f\cong g\) 等价于 \(f\) 和 \(g\) 的序列的极限相同。\(f(n) = 1 - 1/(n+1)\) 和 \(g(n) = 1\)，有 \(f\cong g\)。

【定理】设 \(f:N\to Q\)，\(g: N\to Q\) 且都是常值函数，且 \(f\cong g\)，则 \(f=g\)。

【实数集】令 \(R = B/\cong\)，即 \(R\) 是基本函数的集合 \(B\) 对等价关系 \(\cong\) 的商集，则称 \(R\) 的元素为实数，称 \(R\) 为实数集合。\(X\) 的等价类中有一个常数函数 \(f(n) = r\)，则 \(x\) 为一个有理数，否则 \(x\) 是无理数。

  • 在基本函数的集合 \(B\) 上定义小于关系 \(<_B\) 为，对任意的 \(f,g\in B\)，\(f<_B g\) 当且仅当 \((\exists \epsilon)((\epsilon \in Q\land 0 < \epsilon)\land (\exists n)(n\in N\land(\forall m)((m\in N\land n\le m)\to g(m)-f(m)> \epsilon)))\)。
  • 在 \(R\) 上定义小于等于关系 \(\le_R\) 和小于关系 \(<_R\) 为，对任意的 \(f,g\in B\)，即对 \([f]_{\cong}\in R\) 和 \([g]_{\cong}\in R\)，\([f]_{\cong}\le_R[g]_{\cong}\) 当且仅当 \(f\le_B g\)；\([f]_{\cong}<_R[g]_{\cong}\) 当且仅当 \(f<_B g\)；

2. 集合的等势

【集合的等势】对集合 \(A\) 和 \(B\)，如果存在从 \(A\) 到 \(B\) 的双射函数，就称 \(A\) 和 \(B\) 等势，记作 \(A\approx B\)；如果不存在从 \(A\) 到 \(B\) 的双射函数，就称 \(A\) 和 \(B\) 不等式，记作 \(\lnot A\approx B\)。注意 \(A\approx B\) 时不一定有 \(A=B\)，但是 \(A=B\) 时一定有 \(A\approx B\)。

【定理】对任意的集合 \(A\)，有 \(P(A)\approx A_2\)。

【定理】对任意的集合 \(A,B,C\)，

  • \(A\approx A\)
  • 若 \(A\approx B\)，则 \(B\approx A\)
  • 若 \(A\approx B\) 且 \(B\approx C\)，则 \(A\approx C\)。

【康托定理】

  • \(\lnot N\approx R\)
  • 对任意的集合 \(A\)，\(\lnot A\approx P(A)\)

3. 有限集合与无限集合、集合的基数

【有限集合】集合 \(A\) 是有限集合，当且仅当存在 \(n\in N\)，使 \(n\approx A\)。

【无限集合】集合 \(A\) 是无限集合当且仅当 \(A\) 不是有限集合，即不存在 \(n\in N\) 使 \(n\approx A\)。

【定理】不存在与子集的真子集等势的自然数。

【推论】不存在与子集的真子集等势的有限集合。

【推论】任何与子集的真子集等势的集合均为无限集合。\(N\) 和 \(R\) 都是无限集合。

【推论】任何有限集合只与唯一的自然数等势。

【集合的基数】对任意的集合 \(A\) 和 \(B\)，它们的基数分别用 \(card(A)\) 和 \(card(B)\) 表示，并且 \(card(A) = card(B) \Leftrightarrow A\approx B\)。有时把 \(card(A)\) 记作 \(|A|\) 或 \(\#(A)\)。

  • 对有限集合 \(A\) 和 \(n\in N\)，若 \(A\approx n\)，则 \(card(A) = n\)。
  • 集合的基数是刻画一个集合大小（度量）的精确数学概念。可以理解为一个集合中元素个数的抽象，是有穷集合元素个数的推广。

【自然数集合 \(N\) 的基数】\(N\) 的基数不是自然数，因为 \(N\) 不与任何自然数等势。通常把 \(card(N)\) 记作 \(\aleph_0\)。于是 \(card(Z) = card(Q) = card(N\times N) = \aleph_0\)。

【实数集合 \(R\) 的基数】\(card(R) =\aleph_1\)，因此 \(card([0,1]) = card((0,1)) = card(R^+) = \aleph_1\)。

4. 基数的算术运算、基数的比较、可数集合与连续统假设

【基数的算术运算】对任意的基数 \(k,l\)

  • 若存在集合 \(K\) 和 \(L\)，\(K\cap L = \varnothing\)，\(card(K) = k\)，\(card(L) = l\)，则 \(k+l = card(K\cup L)\)
  • 若存在集合 \(K\) 和 \(L\)，\(card(K) = k\)，\(card(L) = l\)，则 \(k\cdot l = card(K\times L)\)
  • 若存在集合 \(K\) 和 \(L\)，\(card(K) = k\)，\(card(L) = l\)，则 \(k^l = card(L_K)\)，其中 \(L_K\) 是从 \(L\) 到 \(K\) 的函数的集合。

【定理】对任意的基数 \(k,l,m\)

  • \(k+l=l+k\)，\(k\cdot l = l\cdot k\)
  • \(k+(l+m) = (k+l)+m\)，\(k\cdot(l\cdot m) = (k\cdot l)\cdot m\)
  • \(k\cdot(l + m) = k\cdot l + k\cdot m\)
  • \(k^{l+m} = k^l\cdot k^m\)
  • \((k\cdot l)^m = k^m\cdot l^m\)
  • \((k^l)^m = k^{(l\cdot m)}\)

【基数的比较】对集合 \(K\) 和 \(L\)，\(card(K) = k\)，\(card(L) - l\)，如果存在从 \(K\) 到 \(L\) 的单射函数，则称集合 \(L\) 优势于 \(K\)，记作 \(K\le L\)，且称基数 \(k\) 不大于基数 \(l\)，记作 \(k\le l\)。对基数 \(k\) 和 \(l\)，如果 \(k\le l\) 且 \(k\ne l\)，则称 \(k\) 小于 \(l\)，记作 \(k<l\)。

【定理】对任意的基数 \(k,l,m\)

  • \(k\le k\)
  • 若 \(k\le l\) 且 \(l\le m\)，则 \(k\le m\)
  • 若 \(k\le l\) 且 \(l\le k\)，则 \(k=l\)
  • \(k\le l\) 或 \(l\le k\)

【定理】对任意的基数 \(k,l,m\)，如果 \(k\le l\)，

  • \(k + m \le l + m\)
  • \(k\cdot m\le l\cdot m\)
  • \(k^m \le l^m\)
  • 若 \(k\ne 0\) 或 \(m\ne 0\)，则 \(m^k\le m^l\)

【定理】对基数 \(k,l\)，如果 \(k\le l\)，\(k\ne 0\)，\(l\) 是无限基数，则 \(k+l=k\cdot l = l = \max(k,l)\)

【定理】对任意的无限集合 \(K\)，\(N\le K\)；对任意的无限基数 \(k\)，\(\aleph_0\le k\)

【可数集合】对集合 \(K\)，如果 \(card(K)\le \aleph_0\)，则称 \(K\) 是可数集合

  • 可数集合的任何子集是可数集
  • 两个可数集的并集和笛卡尔积是可数集
  • 若 \(K\) 是无限集合，则 \(P(K)\) 是不可数的
  • 可数个可数集的并集是可数集（若 \(A\) 是可数集，\(A\) 的元素都是可数集，则 \(\cup A\) 是可数集）

【基数次序】\(0,1,..,n,.., \aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,..\aleph_i,\aleph_{i+1},..\)，其中 \(\aleph_{i+1} = 2^{\aleph_i}\)。

【连续统假设】断言不存在基数 \(k\)，使 \(\aleph_0 < k < 2^{\aleph_0}\)。

  • 连续统假设和 \(ZF\) 公理系统既是独立的也是相容的。