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ch8 函数

1. 函数与选择公理

【函数的表示方法】列表法、图像法、解析法。

【函数】对集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的关系 \(f\)，若满足 \(\forall x\in dom(f)\)，存在唯一的 \(y\in ran(f)\)，使 \(xfy\) 成立，且 \(dom(f) = A\)，则称 \(f\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的函数，或称 \(f\) 把 \(A\) 映射到 \(B\)。一个从 \(A\) 到 \(B\) 的函数 \(f\)，可以写成 \(f:A\to B\)。这时若 \(xfy\)，则可记作 \(f:x|\to y\) 或 \(f(x) = y\)。

  • 单值性：\((\forall x)(\forall y_1)(\forall y_2)((xfy_1\land xfy_2)\to y_1=y_2\)，同一个 \(x\) 不能对应多个 \(y\)，但是多个 \(x\) 可以对应同一个 \(y\)，因此函数的逆关系不一定是函数。
  • 定义域必须取遍 \(A\) 中所有元素：\((\forall x)(x\in A\to (\exists y)(y\in B\land xfy))\)
  • 关系矩阵每行有且仅有一个 \(1\)，其余均为 \(0\)。
  • 关系图上，集合 \(A\) 中的每个顶点恰好发出一条有向边。

【从 \(A\) 到 \(B\) 的所有函数的集合】对集合 \(A\) 和 \(B\)，从 \(A\) 到 \(B\) 的所有函数的集合记为 \(A_B\)，于是 \(A_B = \{f|f:A\to B\}\)。若 \(A\) 和 \(B\) 是有限集合，且 \(|A| = m,|B|=n\)，则 \(|A_B| = n^m = |B|^{|A|}\)。

【函数的象】设 \(f:A\to B\)，\(A_1\subseteq A\)，定义 \(A_1\) 在 \(f\) 下的象 \(f[A_1]\) 为 \(f[A_1] = \{y|(\exists x)(x\in A_1\land y = f(x))\}\)，把 \(f[A]\) 称为函数的象。设 \(B_1\subseteq B\)，定义 \(B_1\) 在 \(f\) 下的完全原象 \(f^{-1}[B_1]\) 为 \(f^{-1}[B_1] = \{x|x\in A\land f(x)\in B_1\}\)。

【满射】设 \(f:A\to B\)，若 \(ran(f) = B\)，则称 \(f\) 是满射的。

【单射】设 \(f:A\to B\)，若对任意的 \(x_1,x_2\in A, x_1\ne x_2\) 都有 \(f(x_1)\ne f(x_2)\)，则称 \(f\) 是单射的，或内射的。

【双射】设 \(f: A\to B\)，若 \(f\) 既是满射的，又是单射的，则称 \(f\) 是双射的，或一对一 \(A\) 到 \(B\) 上的。

【常函数】设 \(f:A\to B\)，如果存在一个 \(y\in B\)，使得对所有的 \(x\in A\)，有 \(f(x) = y\)，即有 \(f[A] = \{y\}\)，则称 \(f:A\to B\) 为常函数。

【恒等函数】\(A\) 上的恒等关系 \(I_A:A\to A\) 称为恒等函数，于是，对任意的 \(x\in A\)，有 \(I_A(x) = x\)。

【单调函数】对实数集 \(R\)，设 \(f: R\to R\)，如果 \((x\le y)\to (f(x)\le f(y))\)，则称 \(f\) 是单调递增的；如果 \((x< y)\to(f(x)< f(y))\)，则称 \(f\) 为严格单调递增的。

【\(n\) 元运算】对集合 \(A\)，\(n\in N\)，称函数 \(f:A^n\to A\) 为 \(A\) 上的 \(n\) 元运算。

【泛函】设 \(A,B,C\) 是集合，\(B_C\) 为从 \(B\) 到 \(C\) 的所有函数的集合，则 \(F:A\to B_C\) 称为一个泛函（有时将 \(G:B_C\to A\) 称为一个泛函）。

【典型映射 / 自然映射】设 \(R\) 是 \(A\) 上的等价关系，令 \(g:A\to A/R\)，\(g(a) = [a]_R\)，则称 \(g\) 为从 \(A\) 到商集 \(A/R\) 的典型映射或自然映射，其中 \(A/R\) 是以 \(R\) 的等价类为元素的集合。

【选择公理】对任意的关系 \(R\)，存在函数 \(f\)，使得 \(f\subseteq R\) 且 \(dom(f) = dom(R)\)。设 \(C\) 为一个由非空集合所组成的集合。那么我们可以从每一个在 \(C\) 中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

2. 函数的合成与函数的逆

【函数的合成】设 \(g:A\to B\)，\(f:B\to C\)，则 \(f\circ g\) 是函数 \(f\circ g: A\to C\)，且对任意的 \(x\in A\)，有 \((f\circ g)(x) = f(g(x))\)。

  • 若 \(f,g\) 是满射的，则 \(f\circ g\) 是满射的。
  • 若 \(f,g\) 是单射的，则 \(f\circ g\) 是单射的。
  • 若 \(f,g\) 是双射的，则 \(f\circ g\) 是双射的。
  • 若 \(f\circ g\) 是满射的，则 \(f\) 是满射的。
  • 若 \(f\circ g\) 是单射的，则 \(g\) 是单射的。
  • 若 \(f\circ g\) 是双射的，则 \(f\) 是满射的，\(g\) 是单射的。

【定理】设 \(f:A\to B\)，则 \(f = f\circ I_A \ I_B\circ f\)

【函数的逆与反函数】若 \(f:A\to B\) 是双射的，则 \(f^{-1}\) 是函数，\(f^{-1}: B\to A\)。称 \(f^{-1}:B\to A\) 为 \(f\) 的反函数。且反函数 \(f^{-1}:B\to A\) 是双射的。

【定理】若 \(f:A\to B\) 是双射的，则对任意的 \(x\in A\)，有 \(f^{-1}(f(x)) = x\)，对任意的 \(y\in B\)，有 \(f(f^{-1}(y)) = y\)。

【左逆和右逆】设 \(f:A\to B\)，\(g: B\to A\)，如果 \(g\circ f = I_A\)，则称 \(g\) 为 \(f\) 的左逆；如果 \(f\circ g = I_B\)，则称 \(g\) 为 \(f\) 的右逆。

【定理】设 \(f:A\to B\)，\(A\ne \varnothing\)，则

  • \(f\) 存在左逆，当且仅当 \(f\) 是单射的；
  • \(f\) 存在右逆，当且仅当 \(f\) 是满射的；
  • \(f\) 存在左逆又存在右逆，当且仅当 \(f\) 是双射的，且此时 \(f\) 的左逆等于右逆。

3. 函数的性质

【函数的相容性】设 \(f:A\to B\)，\(g:C\to D\)，如果对任意的 \(x\in A\cap C\)，都有 \(f(x) = g(x)\)，就说 \(f\) 和 \(g\) 是相容的。

【函数集的相容性】设 \(C\) 是由一些函数组成的集合，如果 \(C\) 中任意两个函数 \(f\) 和 \(g\) 都是相容的，就说 \(C\) 是相容的。

【定理】设 \(f:A\to B\)，\(g:C\to D\)，则 \(f\) 和 \(g\) 是相容的当且仅当 \(f\cup g\) 是函数。

【定理】设 \(f:A\to B\)，\(g:C\to D\)，则 \(f\) 和 \(g\) 是相容的当且仅当 \(f\uparrow (A\cap C) = g\uparrow (A\cap C)\)。

【定理】对函数的集合 \(C\)，若 \(C\) 是相容的，且 \(F=\cup C\)，则 \(F\) 是函数 \(F:dom(F)\to ran(F)\)，且 \(dom(F) = \cup\{dom(f)|f\in C\}\)。相容的函数集合 \(C\) 可以构造一个函数 \(F\)。

【关系与函数的相容性】设 \(R\) 是 \(A\) 上的等价关系，且 \(f:A\to A\)，如果对任意的 \(x,y\in A\)，有 \(<x,y>\in R\Rightarrow <f(x),f(y)>\in R\)，则称关系 \(R\) 与函数 \(f\) 是相容的。

【定理】设 \(R\) 是 \(A\) 上的等价关系，且 \(f:A\to A\)，如果 \(R\) 与 \(f\) 是相容的，则存在唯一的函数 \(F:A/R\to A/R\)，使 \(F([x]_R) = [f(x)]_R\)；如果 \(R\) 与 \(f\) 不相容，则不存在这样的函数 \(F\)。

4. 特征函数、模糊子集

【特征函数】设 \(E\) 是全集，对任意的 \(A\subseteq E\)，\(A\) 的特征函数 \(\chi_A\) 定义为： $$ \chi_A: E\to {0,1}, \chi_A(a) = \begin{cases} 1 & a\in A\ 0 & a\notin A \end{cases} $$

  • \((\forall x)(\chi_A(x) = 0)\Leftrightarrow A = \varnothing\)
  • \((\forall x)(\chi_A(x) = 1)\Leftrightarrow A = E\)
  • \((\forall x)(\chi_A(x)\le \chi_B(X)) \Leftrightarrow A\subseteq B\)
  • \((\forall x)(\chi_A(x)= \chi_B(X)) \Leftrightarrow A= B\)
  • \(\chi_{A\cap B}(x) = \chi_A\times \chi_B(x)\)
  • \(\chi_{A\cup B}(x) = \chi_A(x) + \chi_B(x) - \chi_{A\cap B}(x)\)
  • \(\chi_{A-B}(x) = \chi_A(x) - \chi_{A\cap B}(X)\)
  • \(\chi_{-A}(x) = 1 - \chi_A(x)\)

【模糊集合】如果 \(E\) 是对象 \(x\) 的集合，则 \(E\) 上的模糊集合 \(A:A = \{(x,\mu_A(x))|x\in E\}\)，\(\mu_A(x)\) 称为模糊集合 \(A\) 的隶属函数。

【隶属函数】设 \(E\) 是全集，对任意的 \(A\subseteq E\)，\(A\) 的隶属函数 \(\chi_A\) 定义为 \(\chi_A: E\to \{0,1\}, \chi_A(a)\to[0,1]\)。

  • 隶属函数取值在 \(0\) 和 \(1\) 之间，其值的确定具有主观性和个人的偏好。